ما هي الأعداد الأولية

1. ما هي الأعداد الأولية؟

الأعداد الأولية (Prime Numbers) هي أعداد صحيحة موجبة أكبر من 1، لا تقبل القسمة إلا على 1 ونفسها فقط بدون باقي.

 مثال:

5 جيّد لأنه يُقسم على 1 و5 فقط.

6 غير أولي لأنه يقبل القسمة على 2 و3.

2. الفرق بين العدد الأولي والعدد المركب؟

العدد الأولي: له عاملان فقط (1 والعدد نفسه).

العدد المركّب: له أكثر من عامِلَين مثل 4 = 2×2، 6 = 2×3.
 مثال: 4 مركب (عوامل: 1،2،4)، 7 أولي (عوامل: 1،7).

3. هل الصفر والواحد أعداد أولية؟

0: لا يُصنّف كبقية، لأنها تقبل القسمة على كل الأعداد.

1: ليس أوليًا وليس مركبًا؛ له عامل واحد فقط، وهو نفس العدد ذاته.

4. ما هي خصائص الأعداد الأولية؟

فردية باستثناء 2 (الزوجي الأول والأول فقط) .

إذا انتهى العدد بـ0 أو5 فهو غير أولي (عدا 5 نفسه).

إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3، فهو غير أولي.

لا يوجد نمط ثابت يمكن التنبؤ به – لكنه لا نهائي كما أثبتها إقليدس.

5. كيف نحدد إن كان العدد أوليًا؟

أ. التحليل البسيط
جرب تقسيم العدد على جميع الأعداد الأولية ≤ √n. إن لم يقبل القسمة: فهو أولي.

ب. الأمثلة
هل 19 أولي؟ √19 ≈4.35، نقسم فقط على 2 و3 → لا يقبل، إذًا أولي.

هل 27 أولي؟ يقبل القسمة على 3 → مركّب.

6. ما هي الأعداد الأولية من 1 إلى 100؟

توجد 25 عددًا أوليًا بين 2 و100: 2،3،5،7،11،13،17،19،23،29،31،37،41،43،47،53،59،61،67،71،73،79،83،89،97 .
يمكنك إضافة جدول منظم بصريًا ودليل تفاعلي في المقال.

7. هل يوجد عدد أولي لا نهائي؟ ولماذا؟

نعم؛ وفق مبرهنة إقليدس (300 ق.م)، مجموعة الأعداد الأولية لا نهائية، لأن تركيبة أولي جديدة دائمًا يمكن إنشاؤها .

8. ما استخدامات الأعداد الأولية في الحياة اليومية؟

التشفير الرقمي (مثل RSA)، تعتمد على أولية الأعداد الكبيرة لفك الشفرات .

النظام الرقمي الموزع: يُستخدم لضمان الأمن وتوليد المفاتيح.

الاختبارات الرياضية: مثل بناء القطع المؤمنة والتوزيع العشوائي.

9. كيف تُستخدم الأعداد الأولية في التشفير؟

يُنتخب عددان أوليان كبيران p وq.

تُحسب N = p × q ومن خلاله يُبنى مفتاح عامًا وخاصًا لتشفير وفك تشفير الرسائل.

تُبنى الصعوبة في كسر المفتاح على أساس صعوبة تحليل N إلى عوامله الأولية.

10. أشهر الخوارزميات لفحص الأولية

قسمة متكررة بالتجربة حتى √n.

خوارزمية إراتوستينس (Sieve of Eratosthenes) لبناء جداول أولية.

اختبارات حديثة: Miller–Rabin، AKS، وهما تستخدم للأعداد الضخمة جدًا.

11. تمارين واختبارات لفهم الأعداد الأولية

أذكر إن كان كل من 29، 65، 97، 121 أوليًا.

أوجد أول 10 أعداد أولية بعد 100.

حدّد ما إذا كانت 7919 أولية باستخدام √7919 ≈89.

طوّر برنامجًا بسيطًا (بلغة بايثون أو JavaScript) للتحقق من أولية عدد.

الأعداد الأولية تشكل حجرًا أساسيًا في علوم الرياضيات، التشفير، والتطبيقات التقنية.